Théorème des gendarmes - Théorème de l’encadrement - Math'φsics

Théorème des gendarmes - Théorème de l’encadrement

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
(Limite)

Théorème

Fonctions d'une variables

Théorème (des gendarmes, de l'encadrement) :
Si \(f\leqslant g\leqslant h\)
Et si \(\underset{x\to x_0}\lim f(x)=\underset{x\to x_0}\lim h(x)=l\in\Bbb R\)
Alors \(\underset{x\to x_0}\lim g(x)=l\)

Fonctions de plusieurs variables

Théorème de l'encadrement, théorème des gendarmes :
Soient \(f,g,h:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) avec \(f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)\)
Si \(f\) et \(h\) ont une limite \(\ell\) en \(x_0\), alors \(g\) admet une limite en \(x_0\) et cette limite est \(\ell\)

Exercices

Déterminer la limite : $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+2y)^3}{x^2+y^2}$$

Majorer le numérateur par un produit du dénominateur
On a \(\lvert x\rvert\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\) et \(\lvert y\rvert\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\)
Donc $$\lvert x+2y\rvert^3\leqslant(\lvert x\rvert +2\lvert y\rvert)^3\leqslant(3\sqrt{x^2+y^2})^3=27(x^2+y^2)^{3/2}$$

Majorer la fonction (en valeur absolue)
Ainsi, $$0\leqslant\left|\frac{(x+2y)^3}{x^2+y^2}\right|\leqslant27\sqrt{x^2+y^2}$$

Appliquer le théorème des gendarmes

Comme \(\displaystyle\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^2+y^2}=0\), on en déduit $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+2y)^3}{x^2+y^2}=0$$
Rétroliens :